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    哥德尔,有史以来最伟大的逻辑学家之一,其不完备性定理是如何统治数学的?
    发布日期:2021-10-12 16:36    点击次数:136

    1930年,库尔特-哥德尔(Kurt Gödel)提出了两个不完备(全)性定理,震惊了整个数学界。我很快就会解释这些定理,它们揭示了关于数学本质的一个基本真理,而这是当时大多数数学家都不愿意接受的事实。

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    在我们讨论这两个定理之前,我将给出几个简单而直观的定义,这些定义对理解这两个定理的妙处是必要的。数学系统是由一些基本元素(如数字)、一些与这些元素相关的运算(加、减等)以及一些公理组成的集合。例如,一些关于元素和运算的陈述,我们无需证明就假设为真(例如,等号在算术上是对称的:如果x=y,那么y=x)。如果我们能够证明一个数学系统中的每一个真实的陈述,我们就说这个数学系统是完备的(完全性的)。最后,如果我们不能证明一个已经被证明的命题的反面,那么这个数学系统就是一致的。例如,如果我们已经证明了两个奇数之和总是偶数,我们就不应该再证明它不是偶数。对于一个数学系统来说,一致性是至关重要的。如果它不一致,那么它就会不断地自相矛盾(因为每条真语句同时也假语句),它对我们没有任何用处。这就是理解哥德尔不完全性定理所需的全部内容。我们现在准备深入研究两个不完备性定理。第一个不完备性定理每一个强大到足以描述计算的数学系统不是不完备的就是不一致的。第二条不完备性定理一个一致的数学系统不能证明它自己的一致性。让我们从第一个定理开始,把这些定理分解开来。首先,"强大到足以描述计算"或者有时称为 "足够的表达能力"不应该吓到我们。宽泛地说,我们这些非数学家所关心的大多数数学系统都满足这个条件。由于这对我们的理解并不重要,我们将不再多做探讨。第一个不完备性定理告诉我们,我们所掌握的每个系统要么不完备,要么不一致。这意味着,我们的系统中要么有一些我们永远无法证明的真实陈述,要么我们的系统自相矛盾(不一致)。正如我之前所说,我们不希望我们的系统是不一致的,所以我们只能希望它们是不完备的。前面一句话中 "希望 "一词的使用并不是随意的。我们希望有办法证明我们的系统实际上是不完备的,而不是不一致的,但哥德尔第二定理现在开始发挥作用,使我们这样的幻想破灭。然而,由于我们还没有遇到任何不一致的情况,我们几乎可以认为我们的系统是一致的,但不完备的。让我们思考一下这意味着什么。我们刚刚承认的是,关于数学和我们的宇宙,总的来说,有一些深层次的基本真理,我们永远无法揭开。现实并非 "逻辑上不完整"。我们只是还没有正确的工具来完全理解它。这不是一个智力或数学技巧的问题。我们不是在等待下一个欧拉或高斯来帮助我们。这根本是不可能的。一些人建议是在我们的系统中加入 "无法证明 "的语句作为公理。然而,这并没有什么用,因为通过增加更多的公理,诞生了一个全新的数学系统,它仍然受制于两个不完全性定理。这是没有办法的。

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    哥德尔不完备性定理对物理学中的 "万物理论 "造成威胁不完备性定理的哲学意义是巨大的。据我们所知,在数学界,没有另一个定理能与哥德尔的不完备性定理首次发表时造成的轰动相提并论。那些将自己的一生都献给了某些数学证明的数学家们,面临着他们一生的努力都是徒劳的可能性。当每个数学家决定是否要解决一个新问题时,他的脑海中不断浮现出一个问题:"如果它不能被证明呢?"。哥德尔被许多人认为是有史以来最伟大的逻辑学家之一。正如我们已经多次指出的,他对数学的贡献是无价的。然而,哥德尔是一个激进的柏拉图主义者和理性主义者,有形而上学信仰。数学上的柏拉图主义和理性主义数学是人类思想的缩影。它代表了人类对抽象物体和实体产生逻辑思维和联系的能力。此外,数学构成了一座桥梁,是人类自己在神秘而复杂的物理世界和人类知识之间建立的。仔细想想,使我们能够理解物理世界的工具具有抽象性,这一点是出乎意料的。考虑到数学对人类历史和文明演变的重要性,它在哲学的发展中一直扮演着重要的角色,这一点也不奇怪。关于数学的本质,最有趣的哲学观点之一被称为数学柏拉图主义。

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    柏拉图和亚里士多德的哲学——"雅典学派"关于数学的柏拉图主义是一种形而上学的观点,认为存在着抽象的数学对象,其存在独立于我们和我们的语言、思想和实践。就像电子和行星独立于我们而存在一样,数字和集合也是如此。正如关于电子和行星的表述是由它们所涉及的对象和这些对象的完全客观的属性决定的,关于数字和集合的表述也是如此。因此,数学真理是被发现的,而不是被发明的。数学柏拉图主义常常与另一种哲学学说——理性主义紧密相连。理性主义是一种哲学观点,认为智力和理性是绝对知识的真正来源。

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    笛卡尔、斯宾诺莎和莱布尼茨——理性主义之父根据理性主义,我们只能通过逻辑和理性获得信息。这种观点与经验主义相对立,经验主义认为知识来自我们的感官,而且只来源感官。可能不正确,但我们可以把数学柏拉图主义看作是一种激进的、更极端的理性主义的形式。正如王浩的《逻辑之旅:从哥德尔到哲学》一书所证明的那样,大约在1960年,哥德尔写下了一份包含14个他所相信的哲学观点的清单。在这篇文章中,我们不会逐一研究这些观点。相反,我们将专注于那些最能说明他的哲学的观点。下面是完整的清单。哥德尔的哲学清单世界是理性的。原则上,人类的理性可以得到更高的发展(通过某些技术)。有系统的方法来解决所有问题(还有艺术等)。还有其他的世界和更高层次的理性存在。我们生活的世界并不是我们将生活或已经生活的唯一世界。先验可知的东西比目前已知的要多得多,这是无可比拟的。文艺复兴以来人类思想的发展是完全可以理解的。人类的理性将向各个方向发展。形式上的权利构成了真正的科学。此处不可见。高等生物是通过类比而不是通过组合与其他生物相联系的。思想有一个客观存在。有一种科学的(精确的)哲学和神学,它涉及最高抽象性的概念;这对科学来说也是最有成果的。此处不可见。在我们分析上述一些观点之前,重要的是要注意,上述14点并没有完全体现哥德尔的哲学。此外,所有的概念都是可以解释的。在这里,我们将给出一些源于哥德尔的生活和性格的有教育意义的猜测。所有问题的解决都有系统的方法(还有艺术等)上面这句话似乎与我们之前看到的两个不完备性定理相矛盾。这些定理的创造者,表明数学有内在局限性的人哥德尔,怎么会相信所有问题都可以解决呢?这种信念是可以解释的,但似乎它可能意味着两件事之一。首先,要么哥德尔认为数学可以以某种前所未有的方式进一步发展;要么他试图暗示有一种更好的方式,比数学更好,可以接近和解决问题。还有其他的世界和更高层次的理性存在这与列表中的第一个陈述 "世界是理性的 "一起,清楚地揭示了哥德尔对数学和整个世界的哲学观点。当哥德尔说 "世界 "和 "理性的人 "时,他可能不是指实际的物理实体。相反,作为一个柏拉图主义者,他是在暗示这样一个事实,即有某些抽象的生命只存在于逻辑和理性的领域,而不是像我们这样的物理世界中。这些 "存在 "可以是数字、函数、向量和所有其他数学对象。

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    哥德尔认为,数学对象,如数字,存在于另一个形而上的境界中我们生活的世界并不是我们将生活或已经生活的唯一世界诚然,现在事情变得有点复杂了。在哥德尔有争议的观点中,包括他对灵魂轮回(或 转世)的信仰。在哲学界有一场关于柏拉图是否是轮回的使者的辩论正在进行。一个通常的说法是,柏拉图在他的形式理论中认为,人们对形式有潜在的知识。这意味着人们在以前的生活中遇到过形式,因此能够记住它们。这里应该指出的是,这并不是印度教或佛教等宗教中常见的那种轮回。这里可能指的是,我们作为人类可能会在许多不同的存在层面上经历许多生命。这是对典型轮回思想的一种概括。高等生物是通过类比而不是通过组合与其他生物相联系的在这里,哥德尔扩展了清单上的第四点。他开始描述生活在他的抽象和形而上学世界中的实体的一些属性。当他说 "高级生命通过类比与其他生命相连 "时,他的意思是,"绝对 "的概念并不适用他的世界。真正的抽象概念是在与其他抽象概念的关系中定义的。为了进一步理解这一点,让我们用一个例子。考虑一下数字 "4"。你怎么能定义这个实体呢?请记住,我们是把数字 "4 "作为一个抽象的非物理概念来对待。根据哥德尔的观点,唯一合理的方法是列出它与其他数字相关的一些属性,例如 "它比3大但比5小 "或 "它是数字8的一半"。就像数字一样,哥德尔声称,他的世界中所有的高级实体都是通过类比来定义的。(想象一下一下五环之歌)结论正如我们所说的,哥德尔的哲学观点清单并不是为了出版,因此它不仅在一定程度上是主观的,而且它可能并没有给出关于哥德尔哲学的全貌。因此,我们将不再分析清单中的任何要点,但我们强烈鼓励读者研究它。

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